📚 Bon courage pour ton évaluation demain ! Cette fiche couvre les points essentiels du programme de première spécialité mathématiques sur les suites.
Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ou à partir d'un certain rang n₀) :
u : ℕ → ℝ
n ↦ u(n) = uₙ
On note (uₙ) la suite de terme général uₙ.
Le terme général uₙ est exprimé en fonction de n : uₙ = f(n)
Exemple : uₙ = 2n + 3
Pour calculer u₅ : u₅ = 2×5 + 3 = 13
Le terme uₙ est exprimé en fonction des termes précédents.
Récurrence d'ordre 1 : uₙ₊₁ = f(uₙ) avec u₀ donné
Récurrence d'ordre 2 : uₙ₊₂ = f(uₙ₊₁, uₙ) avec u₀ et u₁ donnés
Exemple : uₙ₊₁ = 2uₙ + 1 avec u₀ = 3
u₁ = 2×3 + 1 = 7
u₂ = 2×7 + 1 = 15
Pour étudier les variations d'une suite (uₙ) :
• (uₙ) est croissante si pour tout n, uₙ₊₁ ≥ uₙ
• (uₙ) est décroissante si pour tout n, uₙ₊₁ ≤ uₙ
• (uₙ) est constante si pour tout n, uₙ₊₁ = uₙ
Si uₙ₊₁ - uₙ ≥ 0 pour tout n, alors (uₙ) est croissante.
Si uₙ₊₁ - uₙ ≤ 0 pour tout n, alors (uₙ) est décroissante.
Si uₙ₊₁/uₙ ≥ 1 pour tout n, alors (uₙ) est croissante.
Si uₙ₊₁/uₙ ≤ 1 pour tout n, alors (uₙ) est décroissante.
Si uₙ = f(n) avec f fonction dérivable sur [0; +∞[, alors (uₙ) a les mêmes variations que f.
Une suite (uₙ) est arithmétique s'il existe un réel r (la raison) tel que :
uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout entier n
Forme explicite : uₙ = u₀ + n×r
Somme des n premiers termes : S = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2
Une suite (uₙ) est géométrique s'il existe un réel q (la raison) tel que :
uₙ₊₁ = q × uₙ pour tout entier n
Forme explicite : uₙ = u₀ × qⁿ
Somme des n premiers termes : S = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q) si q ≠ 1
💡 Astuce pour l'évaluation :
• Identifie d'abord le type de suite (arithmétique, géométrique, autre)
• Pour les variations, la méthode uₙ₊₁ - uₙ fonctionne toujours
• Vérifie bien les conditions d'application de chaque méthode
Réponds mentalement aux questions puis clique pour vérifier la réponse.
Question 1 : Soit la suite définie par uₙ = 3n - 2. Calcule u₅.
u₅ = 3×5 - 2 = 15 - 2 = 13
Il s'agit d'une forme explicite, on remplace simplement n par 5.
Question 2 : Soit la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ - 1. Calcule u₂.
u₀ = 2
u₁ = 3×2 - 1 = 6 - 1 = 5
u₂ = 3×5 - 1 = 15 - 1 = 14
Il s'agit d'une forme récurrente, on calcule pas à pas.
Question 3 : Soit la suite (uₙ) définie par uₙ = n² - 3n. Étudie ses variations.
On calcule uₙ₊₁ - uₙ = [(n+1)² - 3(n+1)] - [n² - 3n] = [n²+2n+1-3n-3] - [n²-3n] = n²-n-2 - n²+3n = 2n-2
uₙ₊₁ - uₙ ≥ 0 ⇔ 2n-2 ≥ 0 ⇔ n ≥ 1
Donc la suite est décroissante pour n ≤ 1 et croissante pour n ≥ 1.
Question 4 : Soit (uₙ) une suite arithmétique de raison r = 3 et de premier terme u₀ = 5. Donne l'expression de uₙ en fonction de n.
Pour une suite arithmétique : uₙ = u₀ + n×r
Donc uₙ = 5 + 3n
Question 5 : Soit (vₙ) une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme v₀ = 1. Calcule v₄.
Pour une suite géométrique : vₙ = v₀ × qⁿ
Donc v₄ = 1 × 2⁴ = 16
Question 6 : Soit la suite définie par uₙ = (-1)ⁿ × n. Cette suite est-elle monotone ?
Non, cette suite n'est pas monotone (ni croissante, ni décroissante).
Calculons les premiers termes : u₀ = 0, u₁ = -1, u₂ = 2, u₃ = -3, u₄ = 4
On observe que les termes alternent entre négatifs et positifs, donc la suite n'est pas monotone.
Question 7 : Soit wₙ = 2n² - 8n + 3. Détermine le sens de variation de (wₙ).
On peut étudier la fonction f(x) = 2x² - 8x + 3. f'(x) = 4x - 8.
f'(x) ≥ 0 ⇔ 4x - 8 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2
Donc f est décroissante sur [0, 2] et croissante sur [2, +∞[.
La suite (wₙ) a les mêmes variations : décroissante pour n ≤ 2, croissante pour n ≥ 2.
Question 8 : Soit (uₙ) une suite définie par u₀ = 10 et uₙ₊₁ = 0.5uₙ + 1. Calcule u₂.
u₀ = 10
u₁ = 0.5×10 + 1 = 5 + 1 = 6
u₂ = 0.5×6 + 1 = 3 + 1 = 4
Question 9 : Comment montre-t-on qu'une suite (uₙ) est croissante en utilisant le quotient uₙ₊₁/uₙ ?
Cette méthode s'applique uniquement quand tous les termes uₙ sont strictement positifs.
Si pour tout n, uₙ₊₁/uₙ ≥ 1, alors la suite est croissante.
Si pour tout n, uₙ₊₁/uₙ ≤ 1, alors la suite est décroissante.
Question 10 : Calcule la somme S = 1 + 3 + 5 + ... + 99 (la somme des nombres impairs de 1 à 99).
Il s'agit de la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 2.
Premier terme : 1, dernier terme : 99
Nombre de termes : (99 - 1)/2 + 1 = 49 + 1 = 50
S = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2 = 50 × (1 + 99) / 2 = 50 × 100 / 2 = 2500
🎯 Conseil pour l'évaluation :
• Prends le temps de bien lire les énoncés
• Vérifie tes calculs étape par étape
• Pense à justifier tes réponses clairement
• Bonne chance !